Примеры решения задач по математике

1. Даны векторы в некотором базисе. Показать, что система векторов  образует базис и найти координаты вектора  в этом базисе

Решение
Для того, чтобы три трехмерных вектора в трехмерном пространстве образовывали базис необходимо и достаточно, чтобы данная система векторов была линейно независима. То есть коэффициенты в уравнении  были равны 0. Получаем систему уравнении

Для того, чтобы эта система имела нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель данной системы отличался от нуля.Проверим это:
, значит, система векторов является базисом
Найдем коэффициенты разложения вектора  в этом базисе
, получаем систему линейных уравнении

Решим данную систему методом обратной матрицы
Запишем уравнение в виде , значит

2. Даны координаты вершин пирамиды .

Найти:
1) длину ребра ;
2) угол между ребрами  и ;
3) угол между ребром  и гранью ;
4) площадь грани ;
5) объём пирамиды;
6) уравнение прямой ;
7) уравнение плоскости
8) уравнение высоты, опущенной из вершины  на грань
.

Решение

1)

2)

3)

Значит, направляющий вектор плоскости

Найдем угол между  и
, значит угол между плоскостью и гранью равен
4)
Площадь грани равна половине длины векторного произведения векторов, на которых построена эта грань


5)
Объем пирамиды равен  модуля смешанного произведения векторов, на которых построена данная пирамида

6)
Уравнение прямой
7)
Найдено в пункте 3
8)
Так как направляющий вектор высоты коллинеарен направляющему вектору плоскости и точка  лежит на этой высоте, то уравнение высоты

3. Даны две вершины  и  и точка  пересечения медиан .

Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину .

Решение

Координаты точки пересечения медиан есть среднее арифметическое соответствующих координат, то есть

Составим уравнения прямой

Высота, проведенная через точку С, перпендикулярна прямой  и задается уравнением . Константу  найдем из условия, что точка   лежит на этой прямой , значит уравнение высоты

4. Составьте уравнения линии каждая точка которой одинаково удалена от точки  и от прямой

Решение

Пусть  — координаты точки этой линии, тогда
Расстояние до прямой  равно
Расстояние до точки  равно
Тогда, исходя из условии задачи, получаем

Данная линия представляет собой параболу

Доказать ее совместность и решить методом Крамера и средствами матричного исчисления.

Решение

Решение данной системы уравнений вычисляется по формулам
, где  — главный определитель системы, а  — определители, получающиеся заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец свободных членов.

Значит,
2)
Запишем систему в виде , где , тогда .
Матрица , тогда

Посредством матричного исчисления найти преобразование выражающее   через

Решение
Из первого преобразования видно, что
Из второго преобразования видно, что
Тогда,

То есть,