Математическое программирование для студентов сельхозакадемии

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Основные понятия и определения математического программирования

На производстве специалисты часто сталкиваются с проблемой вы­бора наилучшего варианта решения планово-экономических задач.

Решить эту проблему помогает наука, занимающаяся разработкой теории и методов обоснования выбора наилучших вариантов плана из множества возможных. Она получила название «математическое программирование». Слово «программирование» означает выбор лучшей программы производства, лучшего плана. «Лучший» в за­висимости от конкретной цели производства. Цель обязательно выражается количественным показателем (стоимость валовой продукции, сумма затрат и т.д.). Этот показатель называется критерием оптимальности плана и задается математически в виде не­которой целевой функции (функционала). Таким образом, решение пла­ново-экономических задач сводится к нахождению либо максимально­го, либо минимального значения, другими словами, экстремального значения критерия оптимальности.

В практике наиболее широкое распространение получили плано­во-экономические задачи, в которых условия производства и крите­рий оптимальности могут быть представлены в виде системы линей­ных уравнений и неравенств. Такого рода задачи изучаются в теории линейного программирования — наибо­лее обширного, хорошо изученного и практически важного раздела ма­тематического программирования. Линейное программирование включает общие (симплексный и его модификации) и специальные (распределительный и его модификации) методы.

Под методами линейного программирования понимаются про­граммы математических действий, позволяющие находить оптимальное решение различных экономических проблем, условия решения которых выражены в виде линейных уравнений и неравенств и све­дены в единую систему линейных соотношений, подчиненную кон­кретной целевой функции.

Методами линейного программирования можно решать экономи­ческие проблемы, которые удовлетворяют следующим условиям:

• Все экономические, технологические, социальные и другие требования, определяющие оптимальное решение проблемы, должны допускать их математическую формулировку в виде линейных урав­нений и неравенств.
• Система линейных соотношений, характеризующая все усло­вия данной проблемы, должна иметь множество допустимых реше­ний, то есть прежде всего сама экономическая проблема должна до­пускать альтернативные решения.
• Основная цель, которую нужно достичь в результате решения проблемы, должна быть четко выражена экономически и сформули­рована в виде линейного соотношения.

Задача линейного программирования может быть представлена в следующих формах:

а) общая – система ограничений представлена неравенствами типа <, >, =; не на все переменные наложены условия неотрицательности; целевая функция может стремиться как к минимуму, так и к максимуму;

б) каноническая (основная) – система ограничений однородна и представлена уравнениями; на все переменные наложено условие неотрицательности (хj?0, j=1…n); целевая функция стремиться к максимуму;

в) стандартная – система ограничений однородна, представлена неравенствами типа < либо =; на все переменные наложено условие неотрицательности; целевая функция стремиться к максимуму или к минимуму.

В настоящее время существует ряд методов решения задач ли­нейного программирования:  симплексный метод, метод искусственного базиса (моди­фицированный симплексный метод или М-метод).

Первой операцией в процессе решения задач симплексным мето­дом является преобразование неравенств в равенства (приведение системы в канонический вид). Делается оно путем введения во все неравенства дополнительных переменных.

Например,
х1 + х2 + 3х3 ? 2          + х4 = 2
х1 + 4х2 + 2х3 ? 3        + х5 = 3
2х1 + х2 + 3х3 ? 2        + х6 = 2
хj?0, j=1…n

Эти дополнительные пе­ременные, введенные в соответствии с требованиями алгоритма сим­плекс-метода, имеют определенный экономический смысл. Дополнительные переменные, введенные в ограничения со знаком  ?, обозначают недоиспользование ресурсов (недовыполнение объема ограничений) – недоиспользование пашни, труда и т.д. Дополнительные переменные, введенные в ограничение со знаком ?, означают количество продукта или ресурса сверх минимальной границы (перевыполнение объема ограничений) – плана продаж государству вида продукции.

умение изменять целевую функцию с максимума на минимум

Zmax = — Zmin

если не на все переменные наложено условие неотрицательности, то необходимо уметь преобразовывать отрицательные переменные в неотрицательные

хn  = хn’ – хn’’,
где хn’ ? 0,
хn’’ ? 0,
причем хn < 0.

Общие методы линейного программирования (симплексный, М-метод и др.) в принципе дают возможность решить любую задачу, однако, как правило, это решение сопряжено со значительными и трудоемкими расче­тами. Поэтому представляет интерес выделение отдельных классов задач, решение которых можно получить с помощью приспособленных для них более простых специальных вычислительных методов. Наиболее широким классом таких задач являются так называемые транспортные задачи. Транспортными задачами называются задачи определения оптимального плана перевозок груза из данных пунктов отправления в данные пункты потребления. Решение транспортных задач осуществляется специальным методом — методом потенциалов (модифицированный распределительный метод или метод «МОДИ»). Он основан на той же идее последовательного улучшения решения, что и симплексный метод, но учитывает специфиче­ские свойства математической модели транспортной задачи.

2. Основные понятия и определения математического моделирования

Математическое моделирование может трактоваться как при­кладная наука о методах формулирования экономических процессов и явлений, протекающих в производстве.

Математическая модель представляет собой уравнение или сис­тему уравнений, описывающих взаимосвязи, происходящие в ориги­нале. Предметом изучения курса математического моделирования являются математические методы, применяемые при моделировании процессов и экономических явлений.

Разработка ЭММ осуществляется поэтапно в определенной по­следовательности. Схематически этот процесс можно представить так:

1 этап — изучение экономического явления по литературным ис­точникам и в натуре и выделение его основных свойств, признаков и зависимостей, характеризующих его.
На этом этапе необходимо выяснить внешние и внутренние связи исследуемого процесса, определить, какие требуются ресурсы, с по­мощью каких технологических способов ресурсы преобразуются в продукцию.

2 этап — постановка задачи и обоснование критерия оптималь­ности.
Постановка задачи означает качественный анализ экономическо­го процесса с целью выявления неизвестных параметров, значение которых необходимо определить. При этом важное значение отво­дится определению конечной цели решения задачи — выбору крите­рия оптимальности. Он должен отражать как общую цель развития сельскохозяйственного производства, так и конкретное содержание исследуемого экономического явления. Важными сторонами крите­рия оптимальности являются качественная определенность и количе­ственная измеримость.

3 этап — выбор математического метода решения задачи и ба­зовой математической модели, определение переменных и ограниче­ний задачи.
Данный этап моделирования является обязательным, если ЭММ разрабатывается впервые, когда очень важно определить взаимосвязи исследуемого явления, логику взаимодействия отдельных элементов, ус­тановить, каким математическим методом может быть решена эта мо­дель, определить возможность информационного обеспечения модели.
Если же необходимо найти оптимальное решение экономической задачи, для которой уже создана математическая модель и известны методы ее решения, то этот этап можно пропустить и перейти к сле­дующему.

Все рассматриваемые в дальнейшем задачи мы будем решать ме­тодами линейного программирования (в частности, симплексным ме­тодом) по готовой программе, используя готовые оптимизационные модели, записанные в структурной форме.
Целевая функция достигает экстремума

при условии выполнения трех ограничений:
1) по использованию производственных ресурсов — затраты i-го ресурса на производство j-й продукции не будут превышать наличного объема этого ресурса

где аij — норма затрат производственного ресурса i-го вида на единицу размерности j-й;
xj — основная переменная;
bi -объем ресурса;
I1 — множество, содержащее номера ресурсов;
2)           по заданному объему выполнения работ или производства про­дукции — объем производства продукции i-го вида в расчете на единицу j-йпеременной будет не меньше гарантированного объема

где vij — выход продукции i-го вида с единицы размерности j-й пере­менной (урожайность, продуктивность);
Qi — гарантированный объем производства i-го вида продукции;
I2— множество, содержащее номера продуктов.
3) условие неотрицательности переменных — поскольку искомые величины являются реальными положительными величинами (посев­ная площадь, поголовье, объем кормов и т.д.):
Хj > 0     j = 1,…,n.

4 этап — сбор исходной информации и разработка технико-экономических коэффициентов.
Основные требования, предъявляемые к исходной информации, — высокое качество, достаточное количество, соответствующая размер­ность, достоверность и надежность, своевременность и доступность.

Источниками информации служат годовые отчеты, технологиче­ские карты, данные первичного учета, различные нормативные спра­вочники и т.д. Если исходные данные будут недостаточно полными и неточными, то результаты решения задачи могут быть искажены.

Характер исходной информации связан с поставленной планово-экономической проблемой. Если ее решение относится к перспекти­ве, то применяется нормативная, а при решении текущих проблем — нормативная и отчетная информация.

Для любой модели технико-экономические характеристики объ­екта или процесса формируются в виде технико-экономических ко­эффициентов аij, коэффициентов целевой функции  Cj и констант или объемных показателей ресурсов или продуктов bi. Эти коэффициенты представляют собой основную часть входной информации и их мож­но подразделить на три группы:

• удельные нормативы затрат или выхода продукции (рассчиты­ваются на основе нормативных справочников, технологических карт, с использованием методов математической статистики и другими способами);
• коэффициенты пропорциональности (коэффициенты при пере­менных в тех ограничениях, которые предусматривают определенные соотношения между зависимыми переменными по структуре посевов, по поголовью половозрастных групп животных и т.д.);
• коэффициенты связи (когда специально обусловливают зависимость переменной Xj от объемного показателя в ограничении bi, на­пример площадь посева овса не более 100 га).

При подготовке входной информации для ЭММ могут быть ис­пользованы производственные функции — математически выражен­ные связи и зависимости результатов производства от затрат произ­водственных факторов (урожайность культур — от доз внесения удоб­рений; продуктивность коров — от количества потребляемого корма и т.д.). Помимо прогнозирования уровня результативного признака, произ­водственные функции могут быть использованы для определения экономических оптимумов, коэффициентов эффективности и взаимо­заменяемости факторов.

Производственные функции могут быть представлены следую­щими способами:

•  Табличный способ — в виде таблицы, где содержатся ряд значе­ний аргумента и соответствующие значения функции. Этот способ удобен, когда изучают зависимости по опытам и наблюдениям.
•  Графический способ — по графику непосредственно выявляются основные свойства представленной функции и весь ход ее изменения.

Преимущество — наглядность.

Недостаток — иногда трудно точно определить значения зависи­мой переменной у при данных значениях признака х.

3. Аналитический способ — наиболее распространенный — произ­водственная функция представляет собой математическую модель многофакторного экономического процесса, которая позволяет вы­числить ожидаемое значение результата производства в зависимости от действующих на него факторов.

В отличие от ЭММ оптимального программирования, состоящих из ряда уравнений и неравенств, модель производственной функции в общем виде в большинстве случаев описывается одним уравнением, где результат производства представляется как функция n независи­мых факторов:

Х = f(X1, X2,…, Xn)
где Х – производственный результат;
X1, X2,…, Xn– факторы производства.

5 этап — разработка развернутой (матричной) модели экономи­ко-математической задачи.

Модель можно записать развернуто в виде системы неравенств и уравнений, то есть в числовом виде. Однако при достаточно большом числе переменных и ограничений такая запись громоздка, уменьшает обозримость и затрудняет чтение.

Основой развернутой модели является матрица — прямоугольная таблица, в которой записывается развернутая модель задачи в удоб­ной и сокращенной форме.
В матрице по строкам записываются ограничения, а по столбцам -переменные. Все члены одного ограничения должны иметь одну еди­ницу измерения.

Переменные матрицы подразделяются на основные, дополни­тельные и вспомогательные переменные.

Основные переменные обозначают размер видов или способов Деятельности (площадь посева культур, поголовье скота и т.д.).

Дополнительные переменные вводятся при математической реа­лизации задачи для преобразования неравенств в равенства (прирост кормов, привлечение рабочей силы и т.д.).

Вспомогательные переменные вводятся для определения расчет­ных величин (для определения общей суммы материально-денежных затрат, показателей эффективности производства и т.д.).

Ограничения матрицы могут налагаться на отдельные перемен­ные, на часть их или на все. По своему характеру ограничения под­разделяются на основные, дополнительные и вспомогательные.

К основным ограничениям относятся такие ограничения, которые накладываются на все или большинство переменных и выражают главные, наиболее существенные условия задачи (по использованию производственных ресурсов).

Дополнительные ограничения накладываются на отдельные пере­менные или на небольшие группы их. Обычно они формулируются в виде неравенств, ограничивающих «снизу» или «сверху» объемы про­изводства отдельных видов продукции, потребление животными от­дельных видов или групп кормов и т.д. Особенно важно не перенасы­щать модель дополнительными переменными, не сокращать степень свободы системы, иначе решение задачи сведется к арифметическим вычислениям заранее предрешенного результата.
Вспомогательные ограничения не имеют самостоятельного эко­номического значения. Их используют главным образом для обеспе­чения правильной формулировки экономических требований (опре­деление вспомогательных переменных).

Ограничения матрицы модели могут иметь разные единицы из­мерения (площадь посева — га, трудовые ресурсы — чел.-дн.), причем размерность каждого ограничения определяется единицей измерения его правой части. Развернутую числовую ЭММ можно рассмотреть на примере.

Пример:

Составить план сочетания посевных площадей трех культур при условии, что объем земельных ресурсов не должен превышать 900 га, а объем трудовых ресурсов — 5000 чел.-дн. При этом необходимо получить максимум произведенной продукции (ВП) в стоимостном выра­жении.

Исходные данные

Запишем числовую модель:

Матрица задачи

Матрица может иметь блочную структуру. Эта таблица составлена как бы из прямоугольных матриц, обычно расположенных по диагонали. По диагонали рабочей части матрицы стоят рабочие блоки. Каждый блок имеет свои переменные и ограничения. Рабочие блоки связаны между собой связывающим блоком. Такую матрицу имеют задачи по оп­тимизации состава машино-тракторного парка, размещению сельскохозяйственного производства в размере области или района и т.д.

6 этап — решение задачи на ЭВМ, анализ результатов, корректировка модели, решение задачи с учетом сделанных корректировок.
На этом этапе идет кодирование информации для перенесения на машинные носители и решение задачи на ЭВМ.

7 этап — экономический анализ выполненных расчетов и выбор оптимального варианта плана.

В конкретных условиях в зависимости от характера задачи последовательность этапов моделирования экономических процессов мо­жет меняться.

В области сельскохозяйственного производства математическое моделирование используется для решения следующих задач:

• наиболее целесообразного распределения производственных ресурсов (земли, труда, техники и т.д.) в целях максимального увели­чения производства сельскохозяйственной продукции;
• достижения заданных объемов производства с минимальными затратами производственных ресурсов;
• эффективного управления производством и наилучшего ис­пользования производственных ресурсов при минимальных затратах труда, денежно-материальных средств и времени