Математическое программирование для студентов сельхозакадемии

ОПТИМИЗАЦИЯ РАЦИОНОВ КОРМЛЕНИЯ ЖИВОТНЫХ

Основой повышения продуктивности животных является полно­ценное кормление. Недостаток какого-либо вида питательных ве­ществ в рационе отрицательно сказывается на развитии животных и ведет к снижению их продуктивности. Кроме этого, неполноценное кормление вызывает перерасход кормов. Поэтому кормовой рацион должен быть полностью сбалансирован по всем питательным вещест­вам, необходимым для каждого вида животных.

Из одних и тех же кормов в каждом хозяйстве можно составить множество вариантов сбалансированных кормовых рационов. Необ­ходимо из всех этих вариантов выбрать оптимальный. Сделать это традиционными методами невозможно. Только применение ЭВМ и математических методов дало возможность решить эту задачу.

В структуре себестоимости продукции животноводства затраты на корма составляют 40 и более процентов, а оптимизация рационов корм­ления животных по критерию оптимальности — минимум себестоимости рациона, позволяет снизить себестоимости продукции до 15%.

1. Постановка задачи

Из имеющегося набора кормов и кормовых добавок необходимо составить полноценный рацион кормления для определенного вида (группы) сельскохозяйственных животных с заданной массой и про­дуктивностью. При этом должны выполняться следующие условия:

• удовлетворяются   биологические   потребности   животного   в элементах питания;
• соблюдаются научно обоснованные зоотехнические требова­ния к соотношениям между отдельными группами и видами кормов в составе рациона;
• и одновременно достигается минимальная стоимость рациона.

2. Состав переменных и ограничений задачи

Основными переменными в экономико-математической задаче являются корма, имеющиеся в хозяйстве, а также корма, кормовые и минеральные добавки, которые хозяйство может приобрести. Единица­ми измерения этих переменных являются весовые единицы — кг, ц; в зависимости от периода, на который составляются рационы, — сутки, год. В качестве дополнительных переменных выступают избытки основных питательных элементов (корм. ед., перевариваемый протеин, об­менная энергия и т.д.).

Кроме этого, в экономико-математической задаче могут быть и вспомогательные переменные. Они чаще всего выражают суммарное количество отдельных видов питательных веществ (корм. ед., перевари­ваемый протеин и т.д.). С помощью этих переменных записывают условия по структуре рациона (удельному весу отдельных групп кормов).

Все условия данной задачи формируются в три группы ограниче­ний: основные, дополнительные и вспомогательные.

Основные ограничения необходимы для записи условий по балан­су питательных веществ и по соотношению отдельных групп кормов в рационе. С помощью дополнительных ограничений в задаче запи­сывают соотношения отдельных видов кормов внутри групп в нату­ральном выражении или в кормовых единицах, а также условия по ограничению избытков основных питательных элементов. С помо­щью вспомогательных ограничений записывают условия по суммар­ному количеству кормовых единиц и перевариваемого протеина.

3. Исходная информация

Для составления экономико-математической модели оптимально­го рациона кормления скота необходимы следующие данные:

• вид или половозрастная группа скота, для которого рассчитыва­ется рацион; период (сутки, месяц, год); живой вес одной головы; планируемая продуктивность;
• требуемое содержание питательных веществ в рационе или по­требность животного в зависимости от его продуктивности, живого веса, физиологического состояния (эти нормативные данные берут из справочников);
• предельные нормы скармливания отдельных видов и групп кор­мов данному виду скота или допустимые зоотехнические нормы потреб­ления кормов (эти данные также берут из справочной литературы);
• виды кормов и кормовых добавок, из которых могут быть со­ставлены кормовые рационы;
• содержание питательных веществ в единице корма или кормо­вой добавки по всем учитываемым в задаче видам питательных ве­ществ (эти данные берут на основе анализа кормов, проведенного в
  агрохимлаборатории, или из справочных таблиц по питательности кормов);
• стоимость (себестоимость) весовой единицы корма и добавок.

4. Разработка числовой экономико-математической модели

Рассмотрим составление числовой экономико-математической модели на примере оптимизации суточного кормового рациона на стойловый период для дойной коровы живой массой 450 кг, продук­тивностью 10-12 кг молока в сутки.

Набор имеющихся в хозяйстве кормов (из них жмых и карбамид хозяйство может приобрести на стороне), питательность кормов и их стоимость представлены в таблице 2. Основные переменные модели означают количество каждого вида корма, которое может быть вве­дено в рацион. Так как составляется суточный рацион, то за единицу измерения удобно принять 1 кг. Обозначения переменных так же представлены в таблице 2.

Согласно нормам кормления в рационе коров указанной продук­тивности и живого веса должно содержаться не менее 10,6 кг кормо­вых единиц, 1,14 кг перевариваемого протеина, 75 г кальция, 50 г фос­фора, 450 мг каротина и не более 18 кг сухого вещества. При этом не­обходимо отметить, что отклонение нормы содержания основного вида питательного вещества допустимо в пределах 3-5% (кормовые единицы — 3%, перевариваемый протеин — 5%). В соответствии с зоотех­ническими требованиями отдельные группы кормов могут содер­жаться в рационе в определенном количестве (таблица 1).
Таблица 1
Содержание кормов в рационе, % от общего количества

При формировании структуры рациона следует учитывать, что сумма процентов по минимальной границе содержания отдельных видов кормов в рационе должна быть менее 100%, а по максимальной границе — более 100% порядка ± 20-30%.

Отдельные виды кормов могут содержаться в рационе в следую­щем количестве: картофеля — не более 10% веса корнеклубнеплодов; жмыха — не более 20% веса концентрированных кормов; соломы — не более 50% общего количества грубых кормов.

Карбамидом можно заменить не более 25% перевариваемого про­теина, необходимого в рационе.

Для формирования основных ограничений по содержанию кор­мовых единиц и перевариваемого протеина в рационе необходимо вве­сти дополнительные переменные Х15 и Х!6, обозначающие избыток соответствующего вида питательного элемента.

Для формирования ограничений по определению общего количе­ства кормовых единиц и перевариваемого протеина вводятся вспомога­тельные переменные Х13 и Х14, обозначающие общее количество со­ответствующего вида питательного вещества.

Чтобы не записывать дважды питательную ценность кормов в ог­раничения по содержанию в рационе кормовых единиц и переваривае­мого протеина и во вспомогательные ограничения по определению общего количества этих элементов, начнем составление модели со вспомогательных ограничений.

Вспомогательные ограничения

Эти ограничения записывают на основании нормативных дан­ных по питательной ценности кормов и кормовых добавок (таблица 1).

Первое — по определению общего количества кормовых единиц в рационе — первоначально будет иметь вид
1,2Х1 + 0,7Х2 + … + 0,13Х10 + 0,ЗХ11 = Х13
или окончательно:
1,2Х1 + 0,7Х2 + … + 0,13Х10 + 0,ЗХ11 — Х13 = 0.

Второе — по общему количеству перевариваемого протеина — форми­руется аналогично.

Ограничения по питательности рациона

Эти ограничения формируют на основании требований по содер­жанию в рационе основных элементов питательности, приведенных в условии задачи. Введение в них дополнительных переменных (Х]5, Х16) вызвано тем, что в оптимальном рационе избыток основных ви­дов питательных элементов не должен превышать 5% от нормы. По­этому эти дополнительные переменные в соответствующих ограни­чениях необходимо будет ограничить (см. ниже).

Ограничение по содержанию в рационе не менее 10,6 кг корм. ед. запишется следующим образом:
Х13-Х15=10,6.

Аналогичный вид будет иметь ограничение по содержанию пере­вариваемого протеина
Х14 – Х16 = 1,14.

Запись ограничений, не включающих дополнительные перемен­ные, обозначающие избыток данного вида питательного элемента, рассмотрим на примере содержания в рационе кальция:
1,2Х1 + 1,2Х2 + …+0,4Х10 + 0,2Х11 ? 75.

Ограничение по содержанию сухих веществ будет противопо­ложного смысла, так как в рационе их должно быть не более 18 кг:
0,87Х1 + 0,87Х2 + … + 0,12Х10 + 0,23Х11 ? 18.

Ограничения по содержанию отдельных групп кормов в рационе

Данные ограничения формируются исходя из процентного соот­ношения отдельных групп кормов в кормовом рационе. Запись этих ограничений осуществляется с помощью основных переменных, обо­значающих соответствующий вид корма, и вспомогательной пере­менной — общее количество кормовых единиц. В качестве коэффици­ентов при основных переменных в этих ограничениях будут высту­пать нормы содержания кормовых единиц в 1 кг соответствующего корма. В качестве коэффициента при вспомогательной переменной — содержание отдельной группы корма в процентах от общего количе­ства кормовых единиц.

Приведем запись ограничений по минимальному и максимально­му содержанию в рационе концентрированных кормов:
1,2X1 + 0,7Х2 + 0,09Х3 ? 0,20Х13;
1,2Х1 + 0,7Х2 + 0,09Х3 ? 0,32Х13.

Произведем алгебраические преобразования с ограничениями. Перенесем члены с неизвестными в левую часть. Так как решение за­дачи будет осуществляться симплексным методом, то в матрице за­дачи выгодно иметь больше ограничений типа ? (особенно для задач с большой размерностью матрицы) по причине того, что введение ис­кусственных переменных приводит к увеличению затрат времени на решение задач. Поэтому умножим обе части ограничения на (-1). Это можно сделать всегда в ограничениях, имеющих свободные члены, равные 0 и знак ?.

Окончательно эти ограничения будут иметь вид
-1,2Х1 — 0,7Х2 — 0,09Х3 + 0,20Х13 ? 0;
1,2Х1 + 0,7Х2 + 0,09Х3 — 0,32Х13 ? 0.

Аналогично формируются и остальные ограничения этого типа (11-16).

Дополнительные ограничения

1. Ограничения  по  соотношению  отдельных  видов  кормов   в группе.
Ограничения по включению жмыха в размере не более 20% от ве­са концентрированных кормов первоначально будет иметь вид
Х3 ? 0,2 (X1 + Х2 + Х3).
Произведем алгебраические преобразования:
Х3 — 0,2Х1 — 0,2Х2 — 0,2Хз ? 0;
-0,2Х1 — 0,2Х2 + 0,8Х3 ? 0;
-Х1 — Х2 + 4Х3 ? 0.
В таком виде это ограничение записывается в матрицу. Анало­гично формируются ограничения 18 и 19.
Для записи ограничения по карбамиду используется вспомога­тельная переменная Х14.
2,6Х12 ? 0,25Х14
или окончательно
2,6Х12 — 0,25Х14 ? 0.

2. Ограничения по превышению кормовых единиц и перевариваемо­го протеина
Х15 ? 0,32;
Х16 ? 0,057.
Правая часть соответствующего ограничения определяется сле­дующим образом:
10,6 * 0,03 = 0,32 и 1,14 * 0,05 = 0,057
При формировании целевой функции в качестве коэффициентов при переменных будет выступать стоимость (себестоимость) едини­цы соответствующего корма или кормовой добавки. Таким образом, целевая функция, выражающая минимум стоимости рациона, запи­шется следующим образом:
Z = 3,5Х1 + 2,0Х2 +… + 5,0X11 + 6,6X12 > МIN.
При решении данной задачи на персональном компьютере по программе «Линейная оптимизация» необходимо сделать некоторые преобразования в целевой функции, так как данный программный комплекс предусматривает решение только на максимум целевой функции. На основании того, что Zmax = — Zmin знаки в целевой функции поменяем на противоположные:
Z = — 3,5Х1 — 2,0Х2 -… — 5,0X11 — 6,6X12 > МАХ.
В матричной форме составленная числовая модель представлена в табл. 2.

Таблица 2
Питательная ценность и стоимость кормов (в расчете на 1 кг корма)