Пример решения задач по Эконометрике

ТЕМА 1. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ  (ДЕ 1 )

Задание 1
Решение: Расположим выборку по возрастанию фактора Х.
Тогда матрица расчета коэффициента корреляции будет выглядеть следующим образом.
Таблица 1.1 – Изучение зависимости У1 от Х при помощи коэффициента корреляции

Анализ полученных коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, имеет сильную  прямую связь с фактором Х1 (выделено желтым цветом).
Таблица 1.2 – Изучение зависимости У2 от Х при помощи коэффициента корреляции

Анализ полученных коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, имеет сильную  прямую связь с фактором Х2 и Х5.
Таблица 1.3 – Изучение зависимости У4 от Х при помощи коэффициента корреляции

Анализ полученных коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, имеет сильную  прямую связь с фактором Х2, Х3, Х4 и Х5.
Таблица 1.4 – Изучение зависимости У5 от Х при помощи коэффициента корреляции

Анализ полученных коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, имеет сильную  прямую связь с фактором Х2, Х3, Х5. (по условию задачи Х4 = У5, поэтому коэффициент равен 1.)
Таблица 1.5 – Изучение зависимости У6 от Х при помощи коэффициента корреляции

Анализ полученных коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, имеет сильную  прямую связь с фактором Х1 и Х6.
Таблица 1.6 – Изучение зависимости У7 от Х при помощи коэффициента корреляции

Анализ полученных коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, имеет сильную  прямую связь с фактором Х7, Х8, Х9.
Таблица 1.7 – Изучение зависимости У8 от Х при помощи коэффициента корреляции

Анализ полученных коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, имеет сильную  прямую связь с фактором Х8, Х9.
Таблица 1.8 – Изучение зависимости У9 от Х при помощи коэффициента корреляции

Анализ полученных коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, имеет сильную  прямую связь с фактором Х7, Х8, Х9.
Таблица 1.9 – Изучение зависимости У10 от Х при помощи коэффициента корреляции

Анализ полученных коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, имеет сильную  прямую связь с фактором Х7, Х8, Х9.
Приведем интерпретацию некоторых из коэффициентов и зависимостей:
Rх1у1 = 0.900, прямая сильная  линейная связь свидетельствует о том, что чем   выше среднемесячная заработная плата работающих , тем выше уровень среднедушевых денежных расходов за месяц.
Rх2у2 = 0.70, прямая сильная  линейная связь свидетельствует о том, что чем выше сальдированный финансовый результат (прибыль) за год, тем выше уровень инвестиции в основной капитал предприятий.
Rх3у2 =0.4, прямая умеренная  линейная связь свидетельствует о том, что  чем выше сальдированный финансовый результат (прибыль) за год, тем выше уровень инвестиции в основной капитал предприятий в предыдущем году.
Rх4у4 =0.99, прямая сильная  линейная связь свидетельствует о том, что чем выше доходы консолидированных бюджетов, тем выше размер их консолидированных расходов.
Rх5у5 = 0.976, прямая сильная  линейная связь свидетельствует о том, что чем выше уровень валового регионального продукта, тем выше размер консолидированных доходов бюджета.

Rх6у6 =0.979 прямая сильная  линейная связь свидетельствует о том, что чем выше среднегодовая численность экономически активнго населения, тем выше оборот розничной торговли за год.
Rх7у7 = 0.92, прямая сильная  линейная связь свидетельствует о том, что чем выше размер среднемесячной начисленной заработной платы, тем выше уровень среднедушевых расходов в месяц.
Rх8у8 =  0.871, прямая сильная  линейная связь свидетельствует о том, что чем выше сальдированный финансовый результат, тем выше размер инвестиций в основной капитал предприятий.
Rх9у9 = 0.985, прямая сильная  линейная связь свидетельствует о том, что чем больше поступлений в пенсионный фонд, тем выше уровень расходов данного фонда.
Rх9у10 = 0.978, прямая сильная  линейная связь свидетельствует о том, что чем выше уровень валового регионального продукта, тем выше уровень поступлений в пенсионный фонд.
3) Рассчитать параметры a0, a1  уравнения парной регрессии y = a0 + a1x . Дать характеристику полученным результатам.
Воспользуемся исходными данными для расчета параметров уравнения парной регрессии.
Таблица 1.10 – Расчет коэффициентов для уравнения регрессии.

Тогда уравнение регрессии примет вид (показатели у1 и х1 – 6)

Аналогично рассчитаем для (У2 и х1 – 6)
Таблица 1.11 – Расчет коэффициентов для уравнения регрессии

Аналогично рассчитаем для (У3 и х1 – 6)
Таблица 1.12 – Расчет коэффициентов для уравнения регрессии

Задача 2
По территориям Северо-Западного федерального округа РФ приводятся данные за 2004 г. Выявить и оценить зависимость сальдированного финансового результата (прибыли) за год, млрд руб., (y2) от инвестиций в основной капитал в 2004 г., млрд руб., x2 
Решение:
На основе исходных табличных данных выполним расчет коэффициентов корреляции и регрессии.
Таблица 2.1 – Исходные данные задачи

Тогда имеем исходную таблицу данных:
Таблица 2.2– Исходные параметры У и Х

Выполним построение корреляционного поля, тогда получим.

Рисунок 1 —  Корреляционное поле.
Анализ корреляционного поля данных показывает, что между признаками  и в выборочной совокупности существует прямая и достаточно тесная связь. Коэффициент парной корреляции составил  Rх2у2 = 0,708,  это значит, что связь прямая сильная, то есть чем выше уровень прибыли, тем выше объем инвестиций в основной капитал. Тогда, объясняемая переменная  линейно зависит от фактора , поэтому уравнение регрессии будем искать в виде  ,.
Найдем коэффициенты для уравнения регрессии.
Выполним оценку регрессии.

Таблица 2.3 – Коэффициенты уравнения регрессии

На основании этих данных запишем уравнение регрессии:

Коэффициент а называется выборочным коэффициентом регрессии Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная при увеличении переменной на одну единицу.
4) Оценить точность  а0, а1  с помощью t- статистики с уровнем значимости a=0,05
Для оценки качества уравнения регрессии в целом необходимо проверить статистическую значимость индекса детерминации.
Таблица 2.4 – Индекс детерминации

.
Значение детерминации R-квадрат имеет значение, чуть больше 50%.
Параметр R-квадрат, представляет собой квадрат коэффициента корреляции rxy2 и называется коэффициентом детерминации. Величина данного коэффициента характеризует долю дисперсии зависимой переменной y, объясненную регрессией (объясняющей переменной x). Соответственно величина 1 — rxy2 характеризует долю дисперсии переменной y, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных. Доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет: 0,501, или 50,1%.
Находим, что численное значение , а скорректированный (нормированный, исправленный) коэффициент детерминации равен

1) Для оценки качества уравнения регрессии в целом необходимо проверить статистическую значимость индекса детерминации : проверяется нулевая гипотеза , используется .
Наблюдаемое значение критерия и оценку его значимости находим в следующей таблице 2.5.

Таблица 2.5  — Дисперсионный анализ

Включаемые в уравнение множественной регрессии факторы должны объяснить вариацию зависимой переменной. Если строится модель с некоторым набором факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации, который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака (объясняемой переменной) за счет рассматриваемых в регрессии факторов. А оценка влияния других, неучтенных в модели факторов, оценивается вычитанием из единицы коэффициента детерминации, что и приводит к соответствующей остаточной дисперсии.
Таким образом, при дополнительном включении в регрессию еще одного фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться. Если этого не происходит и данные показатели практически недостаточно значимо отличаются друг от друга, то включаемый в анализ дополнительный фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором.
Если модель насыщается такими лишними факторами, то не только не снижается величина остаточной дисперсии и не увеличивается показатель детерминации, но, более того, снижается статистическая значимость параметров регрессии по критерию Стьюдента вплоть до статистической незначимости.
2) Для статистической оценки значимости коэффициентов регрессии (а0, а1) используем статистику Стьюдента.
Проверяется нулевая гипотеза .
Для проверки нулевой гипотезы необходимо знать величину наблюдаемых значений критерия ta0 и ta1. Их значения и оценки их статистической значимости найдем в таблице 2.6.
Таблица 2.6 – Параметры t — статистики

В таблице 2.7 находим границы доверительных интервалов для каждого из параметров:
Таблица 2.7 – Границы доверительных интервалов

Табличное значение критерия Стьюдента составило t = 2,12, тогда
tа0  = 0,14
tа1   =  2,65
Значимым является Та1, так как 2,65 > 2.11.
5) Оценить надёжность уравнения с помощью индекса детерминации R2  и F – критерия Фишерадля уровня значимости a = 0,05.
По данным регрессионного анализа можно сказать:
— т.к. коэффициент детерминации равен 0,7, то вариация результата на 70% объясняется вариацией факторов.
— F-критерий равен 7,03, его табличное значение 4, 26. т.к. фактическое значение превышает табличное, то делаем вывод, что полученной уравнение регрессии статистически  значимо.

6) Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,062 от среднего уровня ().
7) Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для
a = 0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), оценив таким образом точность выполненного прогноза.
Далее вычисляем прогнозные значения факторов:
Рассчитаем  прогнозное значение результата, если

Х1 = ср.х * 1, 062 = 25,2 * 1,062 = 26,8
Затем, подставив эти значения в уравнение регрессии, получим прогнозное (предсказанное) значение фактора.

Упрогн = -1,19 + 0,704 * 26,8 = 18,86 -1.19 = 17,67

Доверительный интервал прогноза оценивается формулой: , где  — ошибка прогноза равна стандартная ошибка регрессии.
Таблица 2.8 – Параметры ошибки прогноза

S = 14, 76, тогда
1) нижняя граница прогноза =      2,9 ,
2) верхнюю границу прогноза = 32,433.
Интервал прогнозных значений результативного признака
=>
Ответ: Прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,062 от среднего уровня (), указано в интервале:
.