Основные понятия дифференциального исчисления

1. Определение производной и её геометрический смысл.

Пусть функция y = f(х) определена в окрестности точки хо. возьмём точку х1 этой окрестности, отличную от хо.
Определение. Разность х1 – х0, которую обозначают символом Dх, будем называть приращением независимой переменной.
Определение. Подобным образом соответствующая разность
у1 – у0 = f(х1) – f(х0), обозначается символом Dу и называется приращением зависимой переменной, или приращением функции.
Получаются следующие соотношения:
х1 = х0 + Dх,
у1 = у0 + Dу,
у0 + Dу = f(х0 + Dх)
Так как у0 = f(х0),
то Dу = f(х0 + Dх) – f(х0).
Определение. Частное будем называть разностным отношением.
Выражение f(х0+Dх)– f(х0)
Dх
(принимая что х0 имеет определённое постоянное значение) можно считать функцией приращения Dх.
Определение. Если предел этого выражения при Dх, стремящемся к нулю, существует, то его мы будем называть производной функции у = f(х) по х в точке х0

2. Дифференциальные функции. Определение дифференциала.

Определение. Функция у = f(х) называется дифференцированной в точке х, если её приращение Dу в этой точке можно представить в виде
Dу = f’(х)Dх+a(Dх)Dх,
где a (Dх) = 0
Как видно из из определения, необходимым условием дифференцируемости является существование производной. Оказывается что это условие также и достаточно. В самом деле пусть существуют у’ = f’(х)
Положим – f’(х), Dх № 0
0 , Dх = 0
При таком определении a имеет для всех Dх
Dу = f’(х)Dх +a(Dх)Dх .
Остаётся, следовательно, установить непрерывность a(Dх) при Dх = 0, то есть, равенство a (Dх) = a(0) = 0, но, очевидно,
a (Dх) = – f’(х) = f’(х) – f’(х) = 0,
что и требовалось.

3. Инвариантность формы первого дифференциала.

В случае, когда переменная у = f(х) была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению,
Dу = f’(х)Dх или dхх = f’(х)dхх               (1)
Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной,
х = х(t).
Теорема. Если функции х = j(t) и у = y(t) дифференцируемы в соответствующих точках t = t1 и х = х1 = j(t1), то дифференциал сложной функции у = f(j(t)) = y(t) может быть представлен в виде
dtу = f’(х1) dtх.
Доказательство: Согласно определению дифференциала имеем
dtх = j’(t1) dtt              (11)
dtу = y’(t1) dtt              (2)
Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что
y’(t1) = f’(х1) j’(t1)
Подставив это выражение в формулу (2), получим:
dtу = f’(х1) j’(t1) dtt,
отсюда в силу формулы (11)
dtу = f’(х1) dtх        (3)
Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде
dу = f’(х) dх (4)
Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно dх или dt.
Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов dхх и dху или, соответственно, dtх и dtу.
Значение формулы (4) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то
у’х = f’(х);
когда же зависимость переменной у от х даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то
у’х = f’(и)и’х.
При отыскании же дифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы:
dху = f’(х) dхх, dху = f’(и) dхи
или
dу = f’(х) dх, dу = f’(и) dи.

4. Дифференциал суммы, произведения и частного.

Из теорем о производных суммы, произведения и частного можно получить аналогичные формулы для дифференциалов суммы, произведения и частного. Пусть и и J — функции от х:
и = f(х), J = j(х),
имеющие непрерывные частные производные.
Если положить у = и + J,
то у’х = и’х + J’х,
откуда у’х dх = и’х dх + J’хdх,
следовательно dу = dи + dJ,
то есть d(и + J) = dи + dJ.
Аналогично dси = сdи,
где с – постоянное число;
d(иJ) = иdJ + Jdи,
d ( ) = .
Замечание. На практике часто бывает выгоднее оперировать дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимой переменной переходить к производной.

5. Геометрическая интерпретация дифференциала.

Дифференциал можно геометрически представить следующим образом:
dу = f’(х)dх = tg a . dх = СД.
Таким образом, если Dу – приращение ординаты кривой, то dу – приращение ординаты касательной.
Дифференциал dу, вообще говоря, отличается от Dу, но их разность очень мала по сравнению dх для очень малых dх, так как
= a (Dх) = 0
На практике, когда речь идёт только о приближённых значениях, можно для малых приращений dх считать
Dу = dу = f’(х)dх.