Примеры решения задач по математике

Примеры решения задач по математике

Примеры по математике
1. Даны векторы примеры решения задач по математике бесплатно в некотором базисе. Показать, что система векторов примеры решения задач по математике бесплатно образует базис и найти координаты вектора примеры решения задач по математике бесплатно в этом базисе

Решение
Для того, чтобы три трехмерных вектора в трехмерном пространстве образовывали базис необходимо и достаточно, чтобы данная система векторов была линейно независима. То есть коэффициенты в уравнении примеры решения задач по математике бесплатно были равны 0. Получаем систему уравнении
примеры решения задач по математике бесплатно
Для того, чтобы эта система имела нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель данной системы отличался от нуля.Проверим это:
Примеры решения задач по математике, значит, система векторов является базисом
Найдем коэффициенты разложения вектора Примеры решения задач по математике в этом базисе
Примеры решения задач по математике, получаем систему линейных уравнении
Примеры решения задач по математике
Решим данную систему методом обратной матрицы
Запишем уравнение в виде Примеры решения задач по математике, значит Примеры решения задач по математике

2. Даны координаты вершин пирамиды Примеры решения задач по математике.

Найти:
1) длину ребра Примеры решения задач по математике;
2) угол между ребрами Примеры решения задач по математике и Примеры решения задач по математике;
3) угол между ребром Примеры решения задач по математике и гранью Примеры решения задач по математике;
4) площадь грани Примеры решения задач по математике;
5) объём пирамиды;
6) уравнение прямой Примеры решения задач по математике;
7) уравнение плоскости Примеры решения задач по математике
8) уравнение высоты, опущенной из вершины Примеры решения задач по математике на грань Примеры решения задач по математике

Примеры решения задач по математике.

Решение

1)
Примеры решения задач по математике
2)Примеры решения задач по математике

3)
Примеры решения задач по математике
Значит, направляющий вектор плоскости Примеры решения задач по математике
Примеры решения задач по математике
Найдем угол между примеры решения задач по математике и примеры решения задач по математике
Примеры решения задач по математике, значит угол между плоскостью и гранью равен Примеры решения задач по математике
4)
Площадь грани равна половине длины векторного произведения векторов, на которых построена эта грань
Примеры решения задач по математике
Примеры решения задач по математике
5)
Объем пирамиды равен Примеры решения задач по математике модуля смешанного произведения векторов, на которых построена данная пирамида
Примеры решения задач по математике
6)
Уравнение прямой Примеры решения задач по математике
7)
Найдено в пункте 3
8)
Так как направляющий вектор высоты коллинеарен направляющему вектору плоскости и точка Примеры решения задач по математике лежит на этой высоте, то уравнение высоты Примеры решения задач по математике

3. Даны две вершины Примеры решения задач по математике и Примеры решения задач по математике и точка Примеры решения задач по математике пересечения медиан Примеры решения задач по математике.

Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину Примеры решения задач по математике.

Решение

Координаты точки пересечения медиан есть среднее арифметическое соответствующих координат, то есть
Примеры решения задач по математике
Составим уравнения прямой Примеры решения задач по математике
Примеры решения задач по математике
Высота, проведенная через точку С, перпендикулярна прямой решение задач по математике и задается уравнением Примеры решения задач по математике. Константу Примеры решения задач по математике найдем из условия, что точка  Примеры решения задач по математике лежит на этой прямой Примеры решения задач по математике, значит уравнение высоты Примеры решения задач по математике

4. Составьте уравнения линии каждая точка которой одинаково удалена от точки Примеры решения задач по математике и от прямой Примеры решения задач по математике

Решение

Пусть Примеры решения задач по математике — координаты точки этой линии, тогда
Расстояние до прямой Примеры решения задач по математике равно Примеры решения задач по математике
Расстояние до точки Примеры решения задач по математике равно Примеры решения задач по математике
Тогда, исходя из условии задачи, получаем
Примеры решения задач по математике
Данная линия представляет собой параболу

5. Дана система линейных уравнений

Примеры решения задач по математике
Доказать ее совместность и решить методом Крамера и средствами матричного исчисления.

Решение

Решение данной системы уравнений вычисляется по формулам
Примеры решения задач по математике, где Примеры решения задач по математике — главный определитель системы, а Примеры решения задач по математике — определители, получающиеся заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец свободных членов.
Примеры решения задач по математике

Значит, Примеры решения задач по математике
2)
Запишем систему в виде Примеры решения задач по математике, где Примеры решения задач по математике, тогда Примеры решения задач по математике.
Матрица примеры решения задач бесплатно, тогда Примеры решения задач по математике

6. Даны два линейных преобразования

Примеры решения задач по математике
Посредством матричного исчисления найти преобразование выражающее Примеры решения задач по математике примеры решения задач бесплатно через Примеры решения задач по математике

Решение
Из первого преобразования видно, что Примеры решения задач по математике
Из второго преобразования видно, что Примеры решения задач по математике
Тогда,
Примеры решения задач по математике
То есть,
Примеры решения задач по математике